ぴな
分からないところがあったので、質問にきました。
ピノすけ
どうしたのぴなちゃん。
ぴな
この問題が、ぜんぶ解けたけど、分からないのよ。
ピノすけ
解けたけど分からない？どんな問題？
数が三角形になるようにならべました。
たとえば、「１３」は５段目の左から３番目の数です。
問１．８段目の一番右の数はいくつですか？
問２．１０段目の一番右の数はいくつですか？
問３．１００は何段目の左から何番目ですか？
問４．１０段目にならんでいる数の和はいくつですか？
もくじ
問１．８段目の一番右の数はいくつ？
ピノすけ
これをどうやって解いたの？
ぴな
この三角形の右側の辺の数のことを、三角数っていうの。その段の数をどんどんたしていけば良いのよ。
ピノすけ
なるほど。それじゃ８段目の三角数は？
ぴな
７段目は６段目の２１に７をたして２１＋７＝２８、８段目は７段目の２８に８をたして、
ピノすけ
いいね。すごいすごい。それで、どこがわからないの？
ぴな
その三角数っていうのが、なぞなのよ！
ピノすけ
表を書いてみたんだね。
ぴな
いちばん右が三角数をもとめる式だけど、変な式なの。
なぜ三角数の式は、三角形の面積の式と同じじゃないの？
ぴな
底辺が８で高さが８なのに、三角形の面積の式だと、８×８÷２＝３２個になっちゃうの。
ピノすけ
そうか。８×９÷２＝３６が答えだもんね。
ぴな
うぇーん。でもどうしてなのか、モヤモヤするの。
ピノすけ
ははは。それじゃ、くわしく調べていこう。
三角数のなぞ解き
ピノすけ
三角数の式は、こんなふうに作られるんだよ。
ピノすけ
タイルになおすとね、
ピノすけ
右上のほうをポキっと折って左下にのせてみるよ。ふつうの三角形と比べてみよう。
ぴな
ちゃんと重なればいいのね。
ぴな
タイルのほうは、すっごくはみだしちゃった。ふしぎ。
ピノすけ
むかしむかし、ドイツの小学校１年生だったガウス少年が、こんな方法を考えたんだよ。
ぴな
さかさまにしたもの・・・？。
ピノすけ
この数を上下にあわせて、足し合わせるとどうなるかな？
ぴな
わぁい。数がみんなそろっちゃった。
ピノすけ
これなら、かけざんの九九ができるでしょ。
ぴな
そうか、８×９で２つ分の合計を出しておいて、半分にするのね。
ピノすけ
そうそう。つまり、ガウス君が考えたのは、こういうことなんだ。
ぴな
もとの三角形を二つさかさまにかさねると・・
ピノすけ
長方形になるから、
ピノすけ
長方形の面積を求めて、半分にするんだ。
ぴな
そうか、最初の１と最後の８が重なるから、
８×８÷２
ではなくて、
８×（８＋１）÷２
なんだね。
問２．１０段目の一番右の数はいくつ？
ぴな
これは、ガウス君の方法でできるわ。
ピノすけ
いいね。答えはどうなるの？
問３．「１００」は何段目の左から何番目？
ぴな
これは、三角数をどんどんもとめて、１００の近くの段が分かればいいのね。
ピノすけ
そうだね。やってみよう。
ぴな
１０段は５５だから、２０段ならどうかな？
ぴな
２０×２１＝４２０！半分にすると２１０だから、おっきすぎた。中間にしてみよう。
ぴな
１５×１６の半分は１５×８＝１０×８＋５×８だから、８０＋４０＝１２０！
ピノすけ
もうすぐだね。
ぴな
１４段をもとめればいいんだわ。
ピノすけ
すごいすごい。正解です。
問４．１５段目にならんでいる数の和はいくつですか？
ぴな
１５段はさっき計算したわ。１２０ね。
１４段は、１０５だから、こんなふうに並んでるの。
１４段は、１０５だから、こんなふうに並んでるの。
ぴな
これもガウス君の方法でできるわ。
ピノすけ
いいね。正解。がんばったね。またクイズを作るから、挑戦してください。
ぴな
はーい。
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問１．８段目の一番右の数はいくつ？の答え
ぴな
答えは２８＋８＝３６です。
問２．１０段目の一番右の数はいくつ？の答え
ぴな
１０×１１＝１１０の半分で、５５です。
問３．「１００」は何段目の左から何番目？の答え
ぴな
１４段目の三角数は１４×１５の半分だから、７×１５。７×１０＝７０と７×５＝３６を足して、１０５。ああ、超えちゃった。
ピノすけ
もうひと息。
ぴな
答えは１００だから、１４段目の右はじより、５つ左ね。
ピノすけ
１４段目は全部で１４個あるね。
ぴな
そうそう。だから、１４ー５＝９！！
答えは、１４段目の左から９番目です！！
答えは、１４段目の左から９番目です！！
問４．１５段目にならんでいる数の和はいくつですか？の答え
ぴな
２２６×１５の半分なので、先に２２６を半分にしておいて、１１３×１５。
１１３×１５＝１６９５が答えです。
