かしこい子になる

さんすうクイズ3 みらいの数学者ガウス君のすごい計算

ぴな
ぴな
分からないところがあったので、質問にきました。
ピノすけ
ピノすけ
どうしたのぴなちゃん。
ぴな
ぴな
この問題が、ぜんぶ解けたけど、分からないのよ。
ピノすけ
ピノすけ
解けたけど分からない?どんな問題?
数が三角形になるようにならべました。

たとえば、「13」は5段目の左から3番目の数です。
問1.8段目の一番右の数はいくつですか?
問2.10段目の一番右の数はいくつですか?
問3.100は何段目の左から何番目ですか?
問4.10段目にならんでいる数の和はいくつですか?

問1.8段目の一番右の数はいくつ?

ピノすけ
ピノすけ
これをどうやって解いたの?
ぴな
ぴな
この三角形の右側の辺の数のことを、三角数っていうの。その段の数をどんどんたしていけば良いのよ。

ピノすけ
ピノすけ
なるほど。それじゃ8段目の三角数は?
ぴな
ぴな
7段目は6段目の21に7をたして21+7=28、8段目は7段目の28に8をたして、

問1.8段目の一番右の数はいくつ?の答え

ピノすけ
ピノすけ
いいね。すごいすごい。それで、どこがわからないの?
ぴな
ぴな
その三角数っていうのが、なぞなのよ!
ピノすけ
ピノすけ
表を書いてみたんだね。
ぴな
ぴな
いちばん右が三角数をもとめる式だけど、変な式なの。

なぜ三角数の式は、三角形の面積の式と同じじゃないの?

ぴな
ぴな
底辺が8で高さが8なのに、三角形の面積の式だと、8×8÷2=32個になっちゃうの。
ピノすけ
ピノすけ
そうか。8×9÷2=36が答えだもんね。
ぴな
ぴな
うぇーん。でもどうしてなのか、モヤモヤするの。
ピノすけ
ピノすけ
ははは。それじゃ、くわしく調べていこう。

三角数のなぞ解き

ピノすけ
ピノすけ
三角数の式は、こんなふうに作られるんだよ。
ピノすけ
ピノすけ
タイルになおすとね、
ピノすけ
ピノすけ
右上のほうをポキっと折って左下にのせてみるよ。ふつうの三角形と比べてみよう。
ぴな
ぴな
ちゃんと重なればいいのね。
ぴな
ぴな
タイルのほうは、すっごくはみだしちゃった。ふしぎ。
ピノすけ
ピノすけ
むかしむかし、ドイツの小学校1年生だったガウス少年が、こんな方法を考えたんだよ。
ぴな
ぴな
さかさまにしたもの・・・?。
ピノすけ
ピノすけ
この数を上下にあわせて、足し合わせるとどうなるかな?
ぴな
ぴな
わぁい。数がみんなそろっちゃった。
ピノすけ
ピノすけ
これなら、かけざんの九九ができるでしょ。
ぴな
ぴな
そうか、8×9で2つ分の合計を出しておいて、半分にするのね。
ピノすけ
ピノすけ
そうそう。つまり、ガウス君が考えたのは、こういうことなんだ。
ぴな
ぴな
もとの三角形を二つさかさまにかさねると・・
ピノすけ
ピノすけ
長方形になるから、
ピノすけ
ピノすけ
長方形の面積を求めて、半分にするんだ。
ぴな
ぴな
そうか、最初の1と最後の8が重なるから、

8×8÷2

ではなくて、

8×(8+1)÷2

なんだね。

問2.10段目の一番右の数はいくつ?

ぴな
ぴな
これは、ガウス君の方法でできるわ。
ピノすけ
ピノすけ
いいね。答えはどうなるの?

問2.10段目の一番右の数はいくつ?の答え

問3.「100」は何段目の左から何番目?

ぴな
ぴな
これは、三角数をどんどんもとめて、100の近くの段が分かればいいのね。
ピノすけ
ピノすけ
そうだね。やってみよう。
ぴな
ぴな
10段は55だから、20段ならどうかな?
ぴな
ぴな
20×21=420!半分にすると210だから、おっきすぎた。中間にしてみよう。

ぴな
ぴな
15×16の半分は15×8=10×8+5×8だから、80+40=120!
ピノすけ
ピノすけ
もうすぐだね。
ぴな
ぴな
14段をもとめればいいんだわ。

問3.「100」は何段目の左から何番目?の答え

ピノすけ
ピノすけ
すごいすごい。正解です。

問4.15段目にならんでいる数の和はいくつですか?

ぴな
ぴな
15段はさっき計算したわ。120ね。
14段は、105だから、こんなふうに並んでるの。

ぴな
ぴな
これもガウス君の方法でできるわ。

問4.15段目にならんでいる数の和はいくつですか?の答え

ピノすけ
ピノすけ
いいね。正解。がんばったね。またクイズを作るから、挑戦してください。
ぴな
ぴな
はーい。

 

 

 

 

 

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問1.8段目の一番右の数はいくつ?の答え

ぴな
ぴな
答えは28+8=36です。

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問2.10段目の一番右の数はいくつ?の答え

ぴな
ぴな
10×11=110の半分で、55です。

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問3.「100」は何段目の左から何番目?の答え

ぴな
ぴな
14段目の三角数は14×15の半分だから、7×15。7×10=70と7×5=36を足して、105。ああ、超えちゃった。
ピノすけ
ピノすけ
もうひと息。
ぴな
ぴな
答えは100だから、14段目の右はじより、5つ左ね。
ピノすけ
ピノすけ
14段目は全部で14個あるね。
ぴな
ぴな
そうそう。だから、14ー5=9!!
答えは、14段目の左から9番目です!!

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問4.15段目にならんでいる数の和はいくつですか?の答え

ぴな
ぴな
226×15の半分なので、先に226を半分にしておいて、113×15。

113×15=1695が答えです。

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ABOUT ME
pinosuke
ぴのすけ@実際にあったことを、書いているので、匿名を貫かせてください。 不登校やアレルギー、学校にはさまざまな子がいて、さまざまな問題が吹き出します。 私は、どんな問題が吹き出して、どんなクレームが飛び出しても、生徒も保護者も、爆笑させて、みんな解決しちゃう自信があります。 みなさんからの、クレームをお待ちしています(^o^)